Dynamique translation

Etude du comportement dynamique d'un solide en translation rectiligne#

Aspects cinématiques#

Paramétrage du modèle glissière#

Equations horaires du mouvement uniforme#

...

Equations horaires du mouvement uniformément varié#

...

Application de cours : Etude du comportement dynamique d’un treuil

La figure ci-dessus représente un treuil. Un moto réducteur, non représenté, entraîne en rotation le tambour 1, sur lequel s’enroule le câble 2 et permet ainsi de lever la charge 3.

La charge de masse \(m = 10 kg\) est soulevée en trois phases décrites par le graphe des vitesses ci-dessous :

Caractériser le mouvement de la charge pour chacune des trois phases.

Application : T2M Buggy Black Pirate

Buggy_Black_Pirate

Le Black Pirate est un Buggy tout terrain 1/8, 4x4, 3 différentiels, à propulsion électrique Brushless :

Vitesse maxi : \(70 km/h\) environ
Accélérations phénoménales : \(1,5 \times g\) !!
La masse totale du buggy est \(m = 3,60 kg\)

Q1) Analyse des performaces annoncées par le constructeur#

Calculer le temps que mettrait le buggy pour atteindre sa vitesse maximale

Q2) Comparaison avec les performances relevées sur piste#

Lors d’un essai sur piste de terre, une mesure de vitesse a été effectuée ; Sur une ligne droite, voiture à l’arrêt, nous effectuons une accélération pour atteindre la vitesse maximale, suivi d’un maintien de la vitesse, puis suivi d’un freinage jusqu’à l’arrêt complet.

Repérer sur les graphes les différentes phases (étapes) de l’essai effectué ;
Relever la valeur de la vitesse maximale atteinte et en déduire l’accélération au démarrage :
Comparer avec les performances annoncées.

Principe fondamental de la dynamique#

Théorème de la résultante dynamique

La somme vectorielle des actions mécaniques extérieures appliquées à un solide \(S\) en mouvement de translation par rapport à un repère absolu \(R = (O, \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z})\) est égale au produit de la masse de ce solide par l’accélération de son centre de gravité \(G\).

...

... Unités :

Théorème du moment dynamique résultant

La somme vectorielle des moments des actions mécaniques extérieures appliquées à un solide \(S\) en mouvement de translation par rapport à un repère absolu \(R = (O, \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z})\) est nulle à son centre de gravité G.

...

Unités :

Remarque

le théorème du moment implique que la résultante des actions mécaniques extérieures passe par \(G\), sinon son moment par rapport à \(G\) n’est pas nul.
Les cas de l’équilibre statique ou lorsque le mouvement est uniforme sont des cas particuliers de la dynamique (cas où l’accélération est nulle).

Application de cours : Etude du comportement dynamique d’un treuil

La figure ci-dessus représente un treuil. Un moto réducteur, non représenté, entraîne en rotation le tambour 1, sur lequel s’enroule le câble 2 et permet ainsi de lever la charge 3.

La charge de masse \(m = 10 kg\) est soulevée en trois phases décrites par le graphe des vitesses ci-dessous :

Isoler la charge et déterminer la tension du câble pour chaque phase en considérant l'accélération de la pesanteur \(g=10 m/s^2\).

Application : T2M Buggy Black Pirate

Buggy_Black_Pirate

Le Black Pirate est un Buggy tout terrain 1/8, 4x4, 3 différentiels, à propulsion électrique Brushless :

Vitesse maxi : \(70 km/h\) environ
Accélérations phénoménales : \(1,5 \times g\) !!
La masse totale du buggy est \(m = 3,60 kg\)

Q3) Etude du phénomène de « transfert de charge » et détermination du coefficient d’adhérence#

Déterminer la répartition de la charge sur les roues arrière et avant lorsque le véhicule accélère ;
Qu’en est-il lorsque le véhicule est à vitesse constante ?
Déterminer le coefficient d’adhérence nécessaire pour transmettre une telle accélération ;
A partir de quelle accélération risque-t-on de cabrer ?
Discuter si les phénomènes de transfert de charge et de cabrage sont bénéfiques à la propulsion et/ou à la traction d’un véhicule automobile…

BAME sur (S) = le buggy#

\(\overrightarrow{P} = - m \times g \cdot \overrightarrow{y} \)
\(\overrightarrow{K_{sol \to S}} = -\|\overrightarrow{K_{sol \to S}}\| \times \sin{\alpha} \cdot \overrightarrow{x} + \|\overrightarrow{K_{sol \to S}}\| \times \cos{\alpha} \cdot \overrightarrow{y} \)
\(\overrightarrow{L_{sol \to S}} = -\|\overrightarrow{L_{sol \to S}}\| \times \sin{\alpha} \cdot \overrightarrow{x} + \|\overrightarrow{L_{sol \to S}}\| \times \cos{\alpha} \cdot \overrightarrow{y} \)

Résultante dynamique : \(\sum\overrightarrow{F_{ext \to S}} = m \cdot \overrightarrow{a_G}\)#

en projection sur \(\overrightarrow{x}\) : \(-\|\overrightarrow{K_{sol \to S}}\| \times \sin{\alpha} -\|\overrightarrow{L_{sol \to S}}\| \times \sin{\alpha} = - m \times a_G\) (1)
en projection sur \(\overrightarrow{y}\) : \(\|\overrightarrow{K_{sol \to S}}\| \times \cos{\alpha} +\|\overrightarrow{L_{sol \to S}}\| \times \cos{\alpha} = m \times g\) (2)

Moment dynamique résultant en G : \(\sum\overrightarrow{M_G(\overrightarrow{F_{ext \to S}})} = \overrightarrow{0}\)#

en projection sur \(\overrightarrow{y}\) : \( - x_{LG} \times \|\overrightarrow{L_{sol \to S}}\| \times \cos{\alpha} - y_{LG} \times \|\overrightarrow{L_{sol \to S}}\| \times \sin{\alpha} + x_{GK} \times \|\overrightarrow{K_{sol \to S}}\| \times \cos{\alpha} - y_{KG} \times \|\overrightarrow{K_{sol \to S}}\| \times \sin{\alpha} = 0\) (3)

Déterminer la répartition de la charge sur les roues arrière et avant lorsque le véhicule accélère ;#

(1) => \(\|\overrightarrow{L_{sol \to S}}\| \times \sin{\alpha} = m \times a_G -\|\overrightarrow{K_{sol \to S}}\| \times \sin{\alpha} \)

(2) => \(\|\overrightarrow{L_{sol \to S}}\| \times \cos{\alpha} = m \times g - \|\overrightarrow{K_{sol \to S}}\| \times \cos{\alpha} \)

avec \( x_{LG} = 190 \), \( y_{LG} = 45 \), \( x_{GK} = 145 \), \( y_{KG} = 45 \)

(3) => \( - 190 \times (m \times g - \|\overrightarrow{K_{sol \to S}}\| \times \cos{\alpha}) - 45 \times (m \times a_G -\|\overrightarrow{K_{sol \to S}}\| \times \sin{\alpha}) + 145 \times \|\overrightarrow{K_{sol \to S}}\| \times \cos{\alpha} - 45 \times \|\overrightarrow{K_{sol \to S}}\| \times \sin{\alpha} = 0\)

\( - 190 \times m \times g + 190 \times \|\overrightarrow{K_{sol \to S}}\| \times \cos{\alpha} - 45 \times m \times a_G + 45 \times \|\overrightarrow{K_{sol \to S}}\| \times \sin{\alpha} + 145 \times \|\overrightarrow{K_{sol \to S}}\| \times \cos{\alpha} - 45 \times \|\overrightarrow{K_{sol \to S}}\| \times \sin{\alpha} = 0\)

\( 335 \times \|\overrightarrow{K_{sol \to S}}\| \times \cos{\alpha} = 190 \times m \times g + 45 \times m \times a_G\)

\(\overrightarrow{K_{sol \to S}} \cdot \overrightarrow{y} = \|\overrightarrow{K_{sol \to S}}\| \times \cos{\alpha} = {190 \times m \times g + 45 \times m \times a_G \over 335}\)

alors (2) => \(\overrightarrow{L_{sol \to S}} \cdot \overrightarrow{y} = \|\overrightarrow{L_{sol \to S}}\| \times \cos{\alpha} = {(335-190) \times m \times g - 45 \times m \times a_G \over 335}\)

Pour \(a_G = 1,5 \times g\), on obtient la répartition de la charge en calculant les composantes verticales des actions mécaniques du sol sur chaque roue en K et en L

\(\overrightarrow{K_{sol \to S}} \cdot \overrightarrow{y} = {3,6 \times (190 \times g + 45 \times 1,5 \times g) \over 335} = {3,6 \times 9,81 \times 257,5 \over 335} = 27,15 \;\mathrm{N}\)

\(\overrightarrow{L_{sol \to S}} \cdot \overrightarrow{y} = {3,6 \times (145 \times g - 45 \times 1,5 \times g) \over 335} = {3,6 \times 9,81 \times 77,5 \over 335} = 8,17 \;\mathrm{N}\)

Qu’en est-il lorsque le véhicule est à vitesse constante ?#

Si \(a_G = 0\) alors

(1) => \(-\|\overrightarrow{K_{sol \to S}}\| \times \sin{\alpha} -\|\overrightarrow{L_{sol \to S}}\| \times \sin{\alpha} = 0\)

donc \(\sin{\alpha} = 0\) et \(\cos{\alpha} = 1\)

On retrouve la même répartition que lorsque le véhicule est à l'arrêt

\(\|\overrightarrow{K_{sol \to S}}\| = {190 \times m \times g \over 335} = {190 \times 3,6 \times 9,81 \over 335} = 20,03 \;\mathrm{N}\)

\(\|\overrightarrow{L_{sol \to S}}\| = {145 \times m \times g \over 335} = 15,27 \;\mathrm{N} \)

Déterminer le coefficient d’adhérence nécessaire pour transmettre une telle accélération#

(1) => \(\sin{\alpha} = {m \times a_G \over {\|\overrightarrow{K_{sol \to S}}\| + \|\overrightarrow{L_{sol \to S}}\|}}\)

(2) => \(\cos{\alpha} = {m \times g \over {\|\overrightarrow{K_{sol \to S}}\| + \|\overrightarrow{L_{sol \to S}}\|}}\)

donc \( \tan{\alpha} = {a_G \over g} = {{1,5 \times g} \over g} \) doit être le coefficient d'adhérence minimale (ce qui implique l'utilisation de "crampons")

A partir de quelle accélération risque-t-on de cabrer ?#

On cabre dès que \(\|\overrightarrow{L_{sol \to S}}\| = 0\)

alors (3) => \(145 \times \|\overrightarrow{K_{sol \to S}}\| \times \cos{\alpha} - 45 \times \|\overrightarrow{K_{sol \to S}}\| \times \sin{\alpha} = 0\)

donc \(145 \times \cos{\alpha} - 45 \times \sin{\alpha} = 0\)

\(145- 45 \times \tan{\alpha} = 0\)

\(\tan{\alpha} = {145 \over 45} = 3,22\)

donc on risque de cabrer à partir de \(a_G > 3,22 \times g\)

Discuter si les phénomènes de transfert de charge et de cabrage sont bénéfiques à la propulsion et/ou à la traction d’un véhicule automobile...#

\(\overrightarrow{L_{sol \to S}} \cdot \overrightarrow{y} = = {145 \times m \times g - 45 \times m \times a_G \over 335}\)

En accélérant, on enlève \({45 \times m \times a_G \over 335} = 7,12 \;\mathrm{N}\) de charge de l'avant que l'on rajoute à l'arrière

\(\overrightarrow{K_{sol \to S}} \cdot \overrightarrow{y} = {190 \times m \times g + 45 \times m \times a_G \over 335}\)

Donc une propulsion est plus favorable qu'une traction en phase d'accélération car la force de pression étant plus grande à l'arrière, pour un coeficient d'adhérence donné, la force de propulsion sera également plus grande proportionnelement tel que \(\|\overrightarrow{T}\| = f \times \|\overrightarrow{N}\|\).