Dynamique rotation
Etude du comportement dynamique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe#
Aspects cinématiques#
Paramétrage du modèle pivot#
Equations horaires du mouvement uniforme#
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Equations horaires du mouvement uniformément varié#
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Application de cours : Etude du comportement dynamique d’un treuil
La figure ci-dessus représente un treuil. Un moto réducteur, non représenté, entraîne en rotation le tambour 1, sur lequel s’enroule le câble 2 et permet ainsi de lever la charge 3.
La charge de masse \(m = 10 kg\) est soulevée en trois phases décrites par le graphe des vitesses ci-dessous :
Le tambour est un cylindre plein en liaison pivot avec le bâti (non représenté). La masse du câble est négligée, donc la tension déterminée à la première partie est constante tout le long du câble. Le couple résistant dans la liaison pivot est négligé.
On donne :
- le moment d’inertie pour un cylindre plein est : \(J = {1 \over 2} \times m \times r^2\)
- la masse du tambour est : \(m_1 = 5 kg\)
- le rayon du tambour est : \(r_1 = 150 mm\)
On demande :
- Déterminer les vitesses et accélérations angulaires du tambour dans son mouvement par rapport au bâti pour chacune des trois phases.
Principe fondamental de la dynamique#
Théorème de la résultante dynamique
La somme vectorielle des actions mécaniques extérieures appliquées à un solide \(S\) en mouvement de rotation autour d’un axe fixe par rapport à un repère absolu \(R = (O, \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z})\) est nulle.
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Unités :
Théorème du moment dynamique résultant
La somme vectorielle des moments des actions mécaniques extérieures appliquées à un solide \(S\) en mouvement de rotation autour d’un axe fixe par rapport à un repère absolu \(R = (O, \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z})\) est égale au produit du moment d’inertie de ce solide par son accélération angulaire.
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Unités :
Moment d'inertie
Le moment d’inertie \(J\) exprime la répartition des masses autour de l’axe de rotation ; Unité : \(m^2 \cdot kg\)
Un patineur sur glace tourne plus vite sur lui-même quand il serre ses bras contre son corps que quand il les écarte.
Isolons le patineur.
Bilan des forces extérieures :
- poids du patineur
- action de la glace sur les patins
Théorème du moment dynamique :
\(0 = J \times α \Rightarrow J \times ω = constante\)
- si ω augmente alors J diminue (bras serrés)
- si ω diminue alors J augmente (bras écartés)
Application de cours : Etude du comportement dynamique d’un treuil
La figure ci-dessus représente un treuil. Un moto réducteur, non représenté, entraîne en rotation le tambour 1, sur lequel s’enroule le câble 2 et permet ainsi de lever la charge 3.
La charge de masse \(m = 10 kg\) est soulevée en trois phases décrites par le graphe des vitesses ci-dessous :
Le tambour est un cylindre plein en liaison pivot avec le bâti (non représenté). La masse du câble est négligée, donc la tension déterminée à la première partie est constante tout le long du câble. Le couple résistant dans la liaison pivot est négligé.
On donne :
- le moment d’inertie pour un cylindre plein est : \(J = {1 \over 2} \times m \times r^2\)
- la masse du tambour est : \(m_1 = 5 kg\)
- le rayon du tambour est : \(r_1 = 150 mm\)
On demande :
- Isoler le tambour et déterminer le couple exercé par le moto réducteur sur ce tambour durant la première phase (on prendra une intensité de \(120 N\) pour la tension dans le câble quelque soit le résultat trouvé précédemment).
- Le choix de la première phase pour déterminer ce couple vous semble-t-il judicieux ? Justifier...
Aspect énergétique#
Energie cinétique d'un solide en translation#
- \(E_c\) : Énergie cinétique de translation (\(J\))
- \(m\) : Masse de l’objet (inertie de translation) (\(kg\))
- \(v\) : Vitesse de l’objet (\(m \cdot s^{-1}\))
Energie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe#
- \(E_c\) : Énergie cinétique de l’objet en rotation (\(J\))
- \(J\) : Inertie de l’objet autour de l'axe de rotation (\(m^2 \cdot kg\))
- \(\omega\) : Vitesse angulaire (\(rad \cdot s^{-1}\))
Complément : Etude énergétique treuil
La figure ci-dessus représente un treuil. Un moto réducteur, non représenté, entraîne en rotation le tambour 1, sur lequel s’enroule le câble 2 et permet ainsi de lever la charge 3.
La charge de masse \(m = 10 kg\) est soulevée en trois phases décrites par le graphe des vitesses ci-dessous :
Le tambour est un cylindre plein en liaison pivot avec le bâti (non représenté). La masse du câble est négligée, donc la tension déterminée à la première partie est constante tout le long du câble. Le couple résistant dans la liaison pivot est négligé.
On donne :
- le moment d’inertie pour un cylindre plein est : \(J = {1 \over 2} \times m \times r^2\)
- la masse du tambour est : \(m_1 = 5 kg\)
- le rayon du tambour est : \(r_1 = 150 mm\)
- le rendement du réducteur est : \(η = 0,9\) ;
- le rapport de réduction du réducteur est : \(r = \frac{1}{12}\) ;
On demande :
- Calculer les énergies cinétiques de la charge 3 et du tambour 1 pendant la deuxième phase ;
- Déterminer alors la vitesse de rotation du moteur ;
- Déterminer le couple maximal que le moteur doit fournir pendant la première phase (on prendra un couple exercé par le moto réducteur sur le tambour de \(18,75 {N \cdot m}\) quelque soit le résultat trouvé précédemment) ;
- Déterminer la puissance maximale que le moteur doit fournir.